wd wp Пошук: ⬜

Дыскрэтнае пераўтварэнне Абеля

У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Пераўтварэнне Абеля. У матэматычным аналізе дыскрэтным пераўтварэннем А́беля называецца наступная тоеснасць:

∑

k

1

N

a

k

b

k

=

∑

k

1

N − 1

B

k

(

a

k

−

a

k + 1

) +

a

N

B

N

,

{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{N}a_{k}b_{k}=\sum \limits _{k=1}^{N-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{N}B_{N},}

дзе элементы

a

k

,

b

k

{\displaystyle a_{k},b_{k}}

зададзены, а

B

k

{\displaystyle B_{k}}

— частковая сума элементаў

b

i

{\displaystyle b_{i}}

(па індэксах ад 1 да k уключна):

B

k

=

∑

i

1

k

b

i

=

b

1

b

2

⋯ +

b

k

.

{\displaystyle B_{k}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{k}.}

Пераўтварэнне Абеля з’яўляецца дыскрэтным адпаведнікам інтэгравання па частках і іншы раз называецца сумаваннем па частках.

Пераўтварэнне было названа ў гонар нарвежскага матэматыка Нільса Хенрыка Абеля і выкарыстоўваецца пры доказе прыкметы збежнасці Дзірыхле.

У літаратуры пераўтварэнне Абеля можа сустракацца ў розных эквівалентных фармулёўках.

Доказ

Ёсць дзве паслядоўнасці

(

a

n

)

{\displaystyle (a_{n})}

і

(

b

n

) ,

{\displaystyle (b_{n}),}

пры

n ∈

N

.

{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}

Разгледзім наступны рад:

S

N

=

∑

n

0

N

a

n

b

n

.

{\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}.}

Абазначым

B

n

=

∑

k

0

n

b

k

,

{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}

тады для ўсіх n > 0 маем

b

n

=

B

n

−

B

n − 1

.

{\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}.}

Адкуль адразу ж атрымліваем

S

N

=

a

0

b

0

∑

n

1

N

a

n

(

B

n

−

B

n − 1

) ,

{\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}

S

N

=

a

0

b

0

−

a

1

B

0

a

N

B

N

∑

n

1

N − 1

B

n

(

a

n

−

a

n + 1

) .

{\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}

У выніку атрымліваем наступную роўнасць:

S

N

=

a

N

B

N

−

∑

n

0

N − 1

B

n

(

a

n + 1

−

a

n

) .

{\displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Дыскрэтныя пераўтварэнні
Катэгорыя·Рады і паслядоўнасці
Катэгорыя·Іншыя значэнні: старонка не існуе