wd wp Пошук: ⬜

Паўпрамы здабытак

Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах

H

{\displaystyle H}

і

N

{\displaystyle N}

, і дзеянні

ϕ

{\displaystyle \phi }

групы

H

{\displaystyle H}

на групе

N

{\displaystyle N}

аўтамарфізмамі.

Паўпрамы здабытак груп

N

{\displaystyle N}

і

H

{\displaystyle H}

над

ϕ

{\displaystyle \phi }

звычайна абазначаецца

N

⋊

ϕ

H

{\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}

.

Канструкцыя

Няхай зададзена дзеянне групы

H

{\displaystyle H}

на прасторы групы

N

{\displaystyle N}

з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм

ϕ : H →

Aut

( N )

{\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}

групы

H

{\displaystyle H}

у групу аўтамарфізмаў групы

N

{\displaystyle N}

. Аўтаморфізм групы

N

{\displaystyle N}

., які адпавядае элементу

h

{\displaystyle h}

з

H

{\displaystyle H}

пры гомамарфізме

ϕ

{\displaystyle \phi }

. пазначым

ϕ

h

{\displaystyle \phi _{h}}

. У якасці групы

G

{\displaystyle G}

— паўпрамога здабытку груп

H

{\displaystyle H}

і

N

{\displaystyle N}

над гомамарфізмам

ϕ

{\displaystyle \phi }

— бярэцца мноства

N × H

{\displaystyle N\times H}

з бінарнай аперацыяй

∗

{\displaystyle *}

, што дзейнічае па правілу:

(

n

1

,

h

1

) ∗ (

n

2

,

h

2

)

(

n

1

ϕ

h

1

(

n

2

) ,

h

1

h

2

)

{\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})}

для любых

n

1

,

n

2

∈ N

{\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}

,

h

1

,

h

2

∈ H

{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}

. Уласцівасці

1. Групы

H

{\displaystyle H}

і

N

{\displaystyle N}

натуральна ўкладзеныя ў

G

{\displaystyle G}

, прычым

N

{\displaystyle N}

— нармальная падгрупа ў

G

{\displaystyle G}

. 2. Кожны элемент

g ∈ G

{\displaystyle g\in G}

адназначна раскладаем у здабытак

g

n h

{\displaystyle g=nh}

, дзе

h

{\displaystyle h}

і

n

{\displaystyle n}

— элементы груп

H

{\displaystyle H}

і

N

{\displaystyle N}

адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы

G

{\displaystyle G}

як паўпрамога здабытку груп

H

{\displaystyle H}

м

N

{\displaystyle N}

.) 3. Зададзенае дзеянне

ϕ

{\displaystyle \phi }

групы

H

{\displaystyle H}

на групе

N

{\displaystyle N}

супадае з дзеяннем

H

{\displaystyle H}

на

N

{\displaystyle N}

спалучэннямі (у групе

G

{\displaystyle G}

).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе

G

{\displaystyle G}

(уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя груп