wd wp Пошук: ⬜

Няроўнасць

Няро́ўнасць — суадносіна між дзвюма аб’ектамі (лікамі, велічынямі, выразамі), у якім адзін з аб’ектаў большы (не большы) за іншы.

Адрозніваюць строгую і нястрогую няроўнасць. Нястрогая няроўнасць, у адрозненне ад строгай, дапушчае магчымасць роўнасці выразаў.

Няроўнасць абазначацца наступнымі знакамі:

строгая няроўнасць
- «>» (больш): «a > b» азначае «a больш за b»

b ⇔ a ≥ b ∧ a ≠ b

{\displaystyle ~a>b\ \Leftrightarrow \ a\geq b\ \land \ a\neq b}

$\{\displaystyle ~a>b\ \Leftrightarrow \ a\geq b\ \land \ a\neq b\}$

- «<» (менш): «a < b» азначае «a менш за b»

a < b ⇔ a ≤ b ∧ a ≠ b

{\displaystyle ~a<b\ \Leftrightarrow \ a\leq b\ \land \ a\neq b}

$\{\displaystyle ~a<b\ \Leftrightarrow \ a\leq b\ \land \ a\neq b\}$

нястрогая няроўнасць
- «≥» (больш або роўна): «a ≥ b» азначае «a больш або роўна да b» або «a не менш за b»

a ≥ b ⇔ a

b ∨ a

{\displaystyle ~a\geq b\ \Leftrightarrow \ a>b\ \lor \ a=b}

$\{\displaystyle ~a\geq b\ \Leftrightarrow \ a>b\ \lor \ a=b\}$

- «≤» (менш або роўна): «a ≤ b» азначае «a менш або роўна да b» або «a не больш за b».

a ≤ b ⇔ a < b ∨ a

{\displaystyle ~a\leq b\ \Leftrightarrow \ a<b\ \lor \ a=b}

$\{\displaystyle ~a\leq b\ \Leftrightarrow \ a<b\ \lor \ a=b\}$ Для любых двух аб’ектаў a і b мае месца адна, і толькі адна з суадносін:

a > b
a = b
a < b

Няроўнасць з’яўляецца адносінай парадку, гэта значыць, яна з’яўляецца транзітыўнай, антысіметрычнай і рэфлексіўнай (для нястрогай) або антырэфлексіўнай (для строгай няроўнасці).

Лікавая няроўнасць

Напрыклад, трэба параўнаць лікі

4 5

3 4

{\displaystyle {\frac {4}{5}}i{\frac {3}{4}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\}\{5\}\}i\{\frac \{3\}\{4\}\}\}$ . Для гэтага знойдзем іх рознасць:

4 5

−

3 4

16 − 15

1 20

{\displaystyle {\frac {4}{5}}-{\frac {3}{4}}={\frac {16-15}{20}}={\frac {1}{20}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\}\{5\}\}-\{\frac \{3\}\{4\}\}=\{\frac \{16-15\}\{20\}\}=\{\frac \{1\}\{20\}\}\}$ .

Значыць,

4 5

3 4

1 20

{\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{20}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\}\{5\}\}=\{\frac \{3\}\{4\}\}+\{\frac \{1\}\{20\}\}\}$ ., г. зн.

4 5

{\displaystyle {\frac {4}{5}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\}\{5\}\}\}$ атрымліваецца прыбаўленнем да ліку

3 4

{\displaystyle {\frac {3}{4}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{3\}\{4\}\}\}$ дадатнага ліку

1 20

{\displaystyle {\frac {1}{20}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{20\}\}\}$ . Гэта адзначае, што лік

4 5

{\displaystyle {\frac {4}{5}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\}\{5\}\}\}$ большы за

3 4

{\displaystyle {\frac {3}{4}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{3\}\{4\}\}\}$ на

1 20

{\displaystyle {\frac {1}{20}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{20\}\}\}$ . Такім чынам,

4 5

3 4

{\displaystyle {\frac {4}{5}}>{\frac {3}{4}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\}\{5\}\}>\{\frac \{3\}\{4\}\}\}$ , паколькі іх рознасць дадатная.

Складанне лікавых няроўнасцей

Пры складанні няроўнасцей аднолькавага знака атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:

калі

{\displaystyle ~a>c}

$\{\displaystyle ~a>c\}$ i

{\displaystyle ~c>d}

$\{\displaystyle ~c>d\}$ , то

a + c

b + d

{\displaystyle ~a+c>b+d}

$\{\displaystyle ~a+c>b+d\}$ .

Множанне лікавых няроўнасцей

Пры множанні няроўнасцей аднолькавага знака, у якіх левыя і правыя часткі дадатныя, атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:

калі

{\displaystyle ~a>c}

$\{\displaystyle ~a>c\}$ ,

{\displaystyle ~c>d}

$\{\displaystyle ~c>d\}$ і

a , b , c , d

{\displaystyle ~a,b,c,d}

$\{\displaystyle ~a,b,c,d\}$ - дадатныя лікі, то

a c

b d

{\displaystyle ~ac>bd}

$\{\displaystyle ~ac>bd\}$ .

Уласцівасці

Калі

{\displaystyle ~a>b}

$\{\displaystyle ~a>b\}$ i

{\displaystyle ~b>c}

$\{\displaystyle ~b>c\}$ , то

{\displaystyle ~a>c}

$\{\displaystyle ~a>c\}$ .

Калі да абедзвюх частак няроўнасцей дадаюць адзін і той жа лік, то знак няроўнасці не зменіцца.
Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа дадатны лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа адмоўны лік, то знак няроўнасці зменіцца на процілеглы.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Матэматычныя знакі
Катэгорыя·Няроўнасці
Катэгорыя·Элементарная матэматыка