wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма Менелая

Тэарэма Менелая — гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты

A ′

B ′

{\displaystyle A’,B’}

$\{\displaystyle A’,B’\}$ і

C ′

{\displaystyle C’}

$\{\displaystyle C’\}$ ляжаць адпаведна на прамых

B C , C A

{\displaystyle BC,CA}

$\{\displaystyle BC,CA\}$ і

A B

{\displaystyle AB}

$\{\displaystyle AB\}$ трохвугольніка

△ A B C

{\displaystyle \triangle ABC}

$\{\displaystyle \triangle ABC\}$ , то яны калінеарныя, тады і толькі тады калі

B ′

⋅

A ′

⋅

C ′

= − 1.

{\displaystyle {\frac {AB’}{B’C}}\cdot {\frac {CA’}{A’B}}\cdot {\frac {BC’}{C’A}}=-1.}

$\{\displaystyle \{\frac \{AB’\}\{B’C\}\}\cdot \{\frac \{CA’\}\{A’B\}\}\cdot \{\frac \{BC’\}\{C’A\}\}=-1.\}$ Тут

B ′

{\displaystyle {\frac {AB’}{B’C}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{AB’\}\{B’C\}\}\}$ ,

A ′

{\displaystyle {\frac {CA’}{A’B}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{CA’\}\{A’B\}\}\}$ і

C ′

{\displaystyle {\frac {BC’}{C’A}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{BC’\}\{C’A\}\}\}$ азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

B ′

⋅

A ′

⋅

C ′

= 1.

{\displaystyle {\frac {|AB’|}{|B’C|}}\cdot {\frac {|CA’|}{|A’B|}}\cdot {\frac {|BC’|}{|C’A|}}=1.}

$\{\displaystyle \{\frac \{|AB’|\}\{|B’C|\}\}\cdot \{\frac \{|CA’|\}\{|A’B|\}\}\cdot \{\frac \{|BC’|\}\{|C’A|\}\}=1.\}$ Гісторыя

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Менелая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэння гэтай прамой з прамой A’C’ . Трохвугольнікі

△ A

C ′

B ′

{\displaystyle \triangle AC’B’}

$\{\displaystyle \triangle AC’B’\}$ і

△ C K

B ′

{\displaystyle \triangle CKB’}

$\{\displaystyle \triangle CKB’\}$ падобныя (па двум вуглам), таму

C ′

C K

B ′

{\displaystyle {|AC’| \over |CK|}={|B’A| \over |B’C|}}

$\{\displaystyle \{|AC’| \over |CK|\}=\{|B’A| \over |B’C|\}\}$ і, значыць —

C K

C ′

⋅

B ′

{\displaystyle |CK|={|AC’|\cdot |B’C| \over |B’A|}}

$\{\displaystyle |CK|=\{|AC’|\cdot |B’C| \over |B’A|\}\}$ . З другога боку, падобнымі з’яўляюцца таксама і тровугольнікі

△ B

C ′

A ′

{\displaystyle \triangle BC’A’}

$\{\displaystyle \triangle BC’A’\}$ і

△ C K

A ′

{\displaystyle \triangle CKA’}

$\{\displaystyle \triangle CKA’\}$ , таму

C ′

C K

A ′

{\displaystyle {|C’B| \over |CK|}={|BA’| \over |A’C|}}

$\{\displaystyle \{|C’B| \over |CK|\}=\{|BA’| \over |A’C|\}\}$ і, такім чынам —

C K

C ′

⋅

A ′

B A

′

{\displaystyle |CK|={|C’B|\cdot |A’C| \over |BA|’}}

$\{\displaystyle |CK|=\{|C’B|\cdot |A’C| \over |BA|’\}\}$ . Але ў такім выпадку

C ′

⋅

B ′

C ′

⋅

A ′

{\displaystyle {|AC’|\cdot |B’C| \over |B’A|}={|C’B|\cdot |A’C| \over |BA’|}}

$\{\displaystyle \{|AC’|\cdot |B’C| \over |B’A|\}=\{|C’B|\cdot |A’C| \over |BA’|\}\}$ або

C ′

⋅

A ′

⋅

B ′

= 1

{\displaystyle {|AC’| \over |C’B|}\cdot {|BA’| \over |A’C|}\cdot {|CB’| \over |B’A|}=1}

$\{\displaystyle \{|AC’| \over |C’B|\}\cdot \{|BA’| \over |A’C|\}\cdot \{|CB’| \over |B’A|\}=1\}$ . Магчымыя два размяшчэнні пунктаў

A ′

B ′

{\displaystyle A’,B’}

$\{\displaystyle A’,B’\}$ і

C ′

{\displaystyle C’}

$\{\displaystyle C’\}$ , альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохвугольніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

B ′

⋅

A ′

⋅

C ′

= − 1.

{\displaystyle {\frac {AB’}{B’C}}\cdot {\frac {CA’}{A’B}}\cdot {\frac {BC’}{C’A}}=-1.}

$\{\displaystyle \{\frac \{AB’\}\{B’C\}\}\cdot \{\frac \{CA’\}\{A’B\}\}\cdot \{\frac \{BC’\}\{C’A\}\}=-1.\}$

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Планіметрыя
Катэгорыя·Тэарэмы