wd wp Пошук: ⬜

Прамая геадэзічная задача

Прамая геадэзічная задача — вылічэнне геадэзічных каардынат — шыраты і даўгаты некаторага пункту, які ляжыць на зямным эліпсоідзе, па каардынатам іншага пункту і па вядомым даўжыні і дырэкцыйнаму вуглу дадзенага кірунку, што злучае гэтыя пункты.

Для пунктаў, якія размешчаны на сфероідзе, рашэнне дадзенай задачы ўяўляе значныя цяжкасці. Для пунктаў на плоскасці яна вырашаецца наступным чынам (гл. выяву).

Дадзена: Пункт

A (

)

{\displaystyle A(X_{A},Y_{A})}

$\{\displaystyle A(X_\{A\},Y_\{A\})\}$ ,

A B

{\displaystyle S_{AB}}

$\{\displaystyle S_\{AB\}\}$ і

A B

{\displaystyle \alpha _{AB}}

$\{\displaystyle \alpha _\{AB\}\}$ .

Знайсці: Пункт

B (

)

{\displaystyle B(X_{B},Y_{B})}

$\{\displaystyle B(X_\{B\},Y_\{B\})\}$

Непасрэдна з выявы маем:

Δ X

−

{\displaystyle \Delta X=X_{B}-X_{A}}

$\{\displaystyle \Delta X=X_\{B\}-X_\{A\}\}$

Δ Y

−

{\displaystyle \Delta Y=Y_{B}-Y_{A}}

$\{\displaystyle \Delta Y=Y_\{B\}-Y_\{A\}\}$

Рознасці

Δ X

{\displaystyle \Delta X}

$\{\displaystyle \Delta X\}$ і

Δ Y

{\displaystyle \Delta Y}

$\{\displaystyle \Delta Y\}$ каардынат наступнага і папярэдняга пунктаў называюцца прырашчэннямі каардынат. Яны ўяўляюць сабою праекцыі адрэзка АВ на адпаведныя восі каардынат. Іх значэнні знаходзім з прамавугольнага трохвугольніка АВС:

Δ X

A B

cos ⁡

A B

{\displaystyle \Delta X=S_{AB}\cos \alpha _{AB}}

$\{\displaystyle \Delta X=S_\{AB\}\cos \alpha _\{AB\}\}$

Δ Y

A B

sin ⁡

A B

{\displaystyle \Delta Y=S_{AB}\sin \alpha _{AB}}

$\{\displaystyle \Delta Y=S_\{AB\}\sin \alpha _\{AB\}\}$

Так як ў гэтых формулах

A B

{\displaystyle S_{AB}}

$\{\displaystyle S_\{AB\}\}$ заўсёды чысло станоўчае, то знакі прырашчэнняў каардынат

Δ X

{\displaystyle \Delta X}

$\{\displaystyle \Delta X\}$ і

Δ Y

{\displaystyle \Delta Y}

$\{\displaystyle \Delta Y\}$ залежаць ад знакаў

cos ⁡

A B

{\displaystyle \cos \alpha _{AB}}

$\{\displaystyle \cos \alpha _\{AB\}\}$ і

sin ⁡

A B

{\displaystyle \sin \alpha _{AB}}

$\{\displaystyle \sin \alpha _\{AB\}\}$ . Для розных значэнняў вуглоў знакі

Δ X

{\displaystyle \Delta X}

$\{\displaystyle \Delta X\}$ і

Δ Y

{\displaystyle \Delta Y}

$\{\displaystyle \Delta Y\}$ прадстаўлены ў табліцы.

Прырашчэнні каардынат	Чвэрць акружнасці ў якую накіравана лінія
Прырашчэнні каардынат	I (ПнУ)	II (ПдУ)	III (ПдЗ)	IV (ПнЗ)
$\{\displaystyle \Delta X\}$	$\{\displaystyle +\}$	—	—	$\{\displaystyle +\}$
$\{\displaystyle \Delta Y\}$	$\{\displaystyle +\}$	$\{\displaystyle +\}$	—	—

Пры дапамозе румба прырашчэння каардынат вылічаюць па формулах:

Δ X

A B

⋅ cos ⁡

A B

{\displaystyle \Delta X=S_{AB}\cdot \cos r_{AB}}

$\{\displaystyle \Delta X=S_\{AB\}\cdot \cos r_\{AB\}\}$ ;

Δ Y

A B

⋅ sin ⁡

A B

{\displaystyle \Delta Y=S_{AB}\cdot \sin r_{AB}}

$\{\displaystyle \Delta Y=S_\{AB\}\cdot \sin r_\{AB\}\}$ .

Знакі прырашчэнням даюць у залежнасці ад назвы румба.

Вылічыўшы прырашчэнні каардынат, знаходзім шуканыя каардынаты іншай кропкі:

Δ X

{\displaystyle X_{B}=X_{A}+\Delta X}

$\{\displaystyle X_\{B\}=X_\{A\}+\Delta X\}$ ;

Δ Y

{\displaystyle Y_{B}=Y_{A}+\Delta Y}

$\{\displaystyle Y_\{B\}=Y_\{A\}+\Delta Y\}$ .

Такім чынам можна знайсці каардынаты любой колькасці пунктаў паводле правіла: каардынаты наступнага пункту роўныя каардынатам папярэдняга пункту плюс адпаведныя прырашчэнні.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Геадэзія