Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах
H
{\displaystyle H}
і
N
{\displaystyle N}
, і дзеянні
ϕ
{\displaystyle \phi }
групы
H
{\displaystyle H}
на групе
N
{\displaystyle N}
аўтамарфізмамі.
Паўпрамы здабытак груп
N
{\displaystyle N}
і
H
{\displaystyle H}
над
ϕ
{\displaystyle \phi }
звычайна абазначаецца
N
⋊
ϕ
H
{\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}
.
Няхай зададзена дзеянне групы
H
{\displaystyle H}
на прасторы групы
N
{\displaystyle N}
з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм
ϕ : H →
Aut
( N )
{\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}
групы
H
{\displaystyle H}
у групу аўтамарфізмаў групы
N
{\displaystyle N}
. Аўтаморфізм групы
N
{\displaystyle N}
., які адпавядае элементу
h
{\displaystyle h}
з
H
{\displaystyle H}
пры гомамарфізме
ϕ
{\displaystyle \phi }
. пазначым
ϕ
h
{\displaystyle \phi _{h}}
. У якасці групы
G
{\displaystyle G}
— паўпрамога здабытку груп
H
{\displaystyle H}
і
N
{\displaystyle N}
над гомамарфізмам
ϕ
{\displaystyle \phi }
— бярэцца мноства
N × H
{\displaystyle N\times H}
∗
{\displaystyle *}
, што дзейнічае па правілу:
(
n
1
,
h
1
) ∗ (
n
2
,
h
2
(
n
1
ϕ
h
1
(
n
2
) ,
h
1
h
2
)
{\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})}
для любых
n
1
,
n
2
∈ N
{\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}
,
h
1
,
h
2
∈ H
{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}
H
{\displaystyle H}
і
N
{\displaystyle N}
натуральна ўкладзеныя ў
G
{\displaystyle G}
, прычым
N
{\displaystyle N}
— нармальная падгрупа ў
G
{\displaystyle G}
.
2. Кожны элемент
g ∈ G
{\displaystyle g\in G}
адназначна раскладаем у здабытак
n h
{\displaystyle g=nh}
, дзе
h
{\displaystyle h}
і
n
{\displaystyle n}
— элементы груп
H
{\displaystyle H}
і
N
{\displaystyle N}
адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы
G
{\displaystyle G}
як паўпрамога здабытку груп
H
{\displaystyle H}
м
N
{\displaystyle N}
.)
3. Зададзенае дзеянне
ϕ
{\displaystyle \phi }
групы
H
{\displaystyle H}
на групе
N
{\displaystyle N}
супадае з дзеяннем
H
{\displaystyle H}
на
N
{\displaystyle N}
спалучэннямі (у групе
G
{\displaystyle G}
).
Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе
G
{\displaystyle G}
(уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).